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逆元的几种求法

  定义 a * x = 1(mod p), 求x

1、扩展欧几里德：

   令ax + py = 1

Gcd的本质就是进行迭代，不断缩小范围。

不详细讲。。参考：

 

2、根据费马小定理：若(a，p)互质，且p为质数：

         则 a ^ (p – 1)= 1 (% p)

         所以x = a ^ (p- 2) (% p)

         快速幂求之,查询log(n)，常数比扩展欧几里德稍大

 

3、O(n)预处理-O(1)询问

         预处理1-n关于p的逆元：（n < p）

         假设已经预处理了1-i-1的逆元，j的逆元设为F[j]

         令p = x * i –y ( 0 < y < i)

         X* i = y (mod p)

         X* F[y] * i = y * F[y] = 1(mod p)

         所以i的逆元是F[i] = X* F[y]

         这样就可以O(n)的时间预处理了。

 

4、还有一种方法：

逆元函数是完全积性的。。所以求所有质数的逆元即可，预处理复杂度是O(n / logn * logn) = O(n)。。。

 

 参考贾志鹏WC论文